TCM por prepa 7: La deducción de las leyes de los gases ideales a partir de la teoría.

Una de las características más importantes de la teoría cinética es su explicación de la ley de los gases ideales. Para mostrar cómo se puede obtener la ley de los gases ideales a partir de la teoría cinética, primero se encontrara una explicación para la presión de un gas.

De acuerdo con la teoría cinética, la presión de un gas, P, será proporcional a la frecuencia de las colisiones moleculares con una superficie y la fuerza promedio ejercida por una molécula en la colisión.

P (alfa) frecuencia de las colisiones x fuerza promedio

La fuerza promedio ejercida por una molécula durante una colisión depende de su masa,m, y de su velocidad promedio, u: esto es, de su momento promedio, mu. En otras palabras, cuanto mayor sea la masa de la molécula y más rápido su movimiento, mayor será la fuerza ejercida durante la colisión. La frecuencia de las colisiones también es proporcional a la velocidad promedio, u, debido a que mientras más rápido se mueva una molécula, chocara con más frecuencia con las paredes del contenedor. La frecuencia de las colisiones es inversamente proporcional al volumen del gas, v, debido a que mayor volumen, menor la frecuencia con la que la molécula choca contra las paredes del contenedor. Por último, la frecuencia de las colisiones es proporcional al número de moléculas, N, en el volumen de gas. Al chocar todos estos factores juntos se obtiene

P (alfa) (u x 1/v x N) x mu

Al pasar el volumen al lado izquierdo se obtiene PV (alfa) Nmu²

Debido a que la energía cinetica de una molecula de masa, m, y velocidad promedio, u, es 102 mu2, PV es proporcionala la energía cinetica promedio de una molecula. Mas aun, la energía cinetica promedio es proporcional a la temperatura absoluta. Observando que el numero de moléculas, N, es proporcional a los moles de moléculas, n, se tiene

PV (alfa) nT

Puede escribir esto como una ecuación insertando una constante de proporcionalidad, R, la cual puede identificar como la constante molar de los gases.

PV=nRT

Los gases perfectos obedecen a tres leyes bastante simples, que son la Ley de Boyle, la ley de Gay-Lussac y la Ley de Charles. Estas leyes son formuladas según el comportamiento de tres grandezas que describen las propiedades de los gases: volumen, presión y temperatura absoluta.

La Ley de Boyle-Mariotte (o Ley de Boyle), formulada por Robert Boyle y Edme Mariotte, es una de las leyes de los gases ideales que relaciona el volumen y la presión de una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante. La ley dice que el volumen es inversamente proporcional a la presión: PV= k

Donde k es constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes.

Cuando aumenta la presión, el volumen disminuye, mientras que si la presión disminuye el volumen aumenta. El valor exacto de la constante k no es necesario conocerlo para poder hacer uso de la Ley; si consideramos las dos situaciones de la figura, manteniendo constante la cantidad de gas y la temperatura, deberá cumplirse la relación:

Además se obtiene despejada que:

Donde:

P1= Presión Inicial

P2= Presión Final

V1= Volumen Inicial

V2= Volumen Final

Esta Ley es una simplificación de la Ley de los gases ideales particularizada para procesos isotermos.

Ley de Gay-Lussac

La ley de Gay- Lussac establece la relación entre la temperatura y la presión de un gas cuando el volumen es constante.

Al aumentar la temperatura las moléculas del gas se mueven más rápidamente y por tanto aumenta el número de choques contra las paredes, es decir aumenta la presión ya que el recipiente es de paredes fijas y su volumen no puede cambiar.

Gay-Lussac descubrió que, en cualquier momento de este proceso, el cociente entre la presión y la temperatura siempre tenía el mismo valor:

P/T= K

Supongamos que tenemos un gas que se encuentra a una presión P1 y a una temperatura T1 al comienzo del experimento. Si variamos la temperatura hasta un nuevo valor T2, entonces la presión cambiará a P2, y se cumplirá:

P1/T1 = P2/T2

Esta ley, al igual que la de Charles, está expresada en función de la temperatura absoluta. Las temperaturas han de expresarse en Kelvin.

Ley de Charles

Esta ley estable como Enunciado:

"A presión constante, el volumen que ocupa una muestra de gas es directamente proporcional a las temperaturas absolutas que soportan"

De acuerdo con el enunciado, la ley de Charles puede expresarse matemáticamente de la siguiente manera:

V1.T2 = V2.T1 (P=cte)

En donde:

V= Volumen.

T= Temperatura.

P= Presión, la cual es constante.

La Ecuación de Clapeyron

La ecuación de Clapeyron puede ser entendida como una síntesis de esas tres leyes, relacionando presión, temperatura y volumen

En una transformación isotérmica, presión y volumen son inversamente proporcionales y en una transformación isométrica, presión y temperatura son directamente proporcionales.

De estas observaciones podemos concluir que la presión es directamente proporcional a la temperatura e inversamente proporcional al volumen.

Es importante también destacar que el número de moléculas infuye en la presión ejercida por el gas, o sea, la presión también depende directamente de la masa del gas.

Considerando estos resultados, Paul Emile Clapeyron (1799-1844) estableció una relación entre las variables de estado con la siguiente expresión matemática.

Donde n es el número de moles y R es la constante universal de los gases perfectos. Esta constante puede asumir los siguientes valores:

La ecuación general para los gases ideales

Consideremos una determinada cantidad de gas ideal confinado en un recipiente donde se puede variar la presión, el volumen y la temperatura, pero manteniendo la masa constante, o sea, sin alterar el número de moles.

A partir de la ecuación de Clapeyron, podemos establecer la siguiente relación:

Como fue descrito, el número de moles n y R son constantes. Se concluye entonces:

Esto es, si variamos la presión, el volumen y la temperatura del gas con masa constante, la relación recién expresada, dará el mismo resultado. Para entender mejor lo que esto significa, observe la figura a continuación:

Tenemos el gas ideal en tres estados diferentes, pero si establecemos la relación de presión, volumen y temperatura, descritos en la primera ecuación, se llega a los siguientes resultados

Observamos que las tres ecuaciones dan el mismo resultado, lo cual significa que ellas son iguales. Entonces podemos obtener la siguiente ecuación final: